几何亚式期权，也称几何平均价格亚式期权，是一种特殊的亚式期权。与标准欧式期权不同，其 payoff (收益) 并非直接依赖于到期日的标的资产价格，而是取决于一段时期内标的资产价格的几何平均值。又与算数亚式期权不同，几何亚式期权使用几何平均值而非算术平均值作为计算依据。更具体地说，到期时的几何平均价格亚式看涨期权 (Geometric Average Price Call Option) 的收益为 max(A - K, 0)，其中 A 是在预先设定的时间点对标的资产价格进行抽样计算得到的几何平均价格，K 是期权的行权价格。 类似地，几何平均价格亚式看跌期权的收益为 max(K - A, 0)。

这种期权的设计初衷是为了降低市场操纵的风险，尤其是在标的资产流动性较差的情况下。因为几何平均价格依赖于一段时间内的价格，单个交易日的操纵对最终收益的影响相对较小。 几何亚式期权也常被用于对冲依赖于一段时间内平均价格的风险敞口，例如，对冲原材料采购成本，因为原材料的采购价格通常是按一段时间内的平均价格计算的。

几何亚式期权相较于算术亚式期权，其主要优点在于更容易定价。由于标的资产价格的对数服从正态分布，价格的几何平均值的对数也服从正态分布，因此可以使用 Black-Scholes 模型进行定价，或者利用蒙特卡洛模拟进行近似计算。正是因为存在解析解，几何亚式期权成为分析和理解亚式期权性质的重要工具。

几何亚式期权的定价公式

几何亚式期权定价的主要优势在于其解析表达式的存在。假设标的资产价格服从几何布朗运动, 即：

dS = μSdt + σSdW

其中，S 是标的资产价格，μ 是标的资产的预期收益率，σ 是标的资产价格的波动率，dW 是标准维纳过程。

几何平均价格 A 的对数服从正态分布。设 T 是期权到期日，t_i (i = 1, 2, ..., n) 是价格抽样的时间点，A = (S₁ S₂ ... S_n)^(1/n) 是几何平均价格，S_i 是在时间 t_i 的标的资产价格。

定义：

μ_A = ( ln(S₀) + (μ - σ²/2) (∑t_i/n) )

σ_A² = σ² (∑t_i²/n²)

其中，S₀ 是当前标的资产价格。

几何平均价格亚式看涨期权的价格 C 可以用 Black-Scholes 公式计算：

C = exp(-rT) (S₀ exp(μ_A + σ_A²/2) N(d₁) - K N(d₂))

其中：

r 是无风险利率

N(x) 是标准正态分布的累积分布函数

d₁ = (ln(S₀ exp(μ_A + σ_A²/2) / K) + σ_A²/2) / σ_A

d₂ = d₁ - σ_A

同样，几何平均价格亚式看跌期权的价格 P 可以用以下公式计算：

P = exp(-rT) (K N(-d₂) - S₀ exp(μ_A + σ_A²/2) N(-d₁))

需要注意的是，上述公式是假设连续抽样的情况下得到的。对于离散抽样，需要对平均价格和波动率进行适当调整。

几何亚式期权与算术亚式期权的比较

几何亚式期权和算术亚式期权都是亚式期权的变种，但它们在定价和性质上存在显著差异。

平均值的计算方式: 几何亚式期权使用几何平均值，即所有抽样价格的乘积的 n 次方根；而算术亚式期权使用算术平均值，即所有抽样价格的总和除以抽样次数。

定价难度: 几何平均值的对数服从正态分布，因此几何亚式期权可以利用 Black-Scholes 模型进行定价，存在解析解。算术平均值的分布没有简单的解析形式，因此算术亚式期权的定价通常需要使用数值方法，例如蒙特卡洛模拟。

价格差异: 一般来说，在其他条件相同的情况下，算术亚式期权的价格会略高于几何亚式期权。这是因为对于正数而言，算术平均值通常大于几何平均值。

风险管理: 几何亚式期权由于其定价的便捷性，更适合用于风险管理模型的构建和分析。如果实际的风险敞口依赖于算术平均价格，使用几何亚式期权进行对冲可能会产生一定的基差风险。

总而言之，选择使用几何亚式期权还是算术亚式期权取决于具体的应用场景和风险偏好。如果需要快速且精确的定价，几何亚式期权是一个不错的选择。如果对冲的标的确实是算术平均价格，则算术亚式期权更为合适。

几何亚式期权的优点和缺点

优点：

定价方便: 最大的优点是定价方便，存在解析解，可以使用 Black-Scholes 模型进行定价，无需复杂的数值计算。这使得它在金融工程和量化分析中非常有用。

分析简单: 由于其简化的数学性质，更容易进行理论分析和模型校准。

降低操纵风险: 相较于欧式期权，期权价值依赖于一段时间内的价格，降低了价格操纵的风险。

缺点：

与实际需求可能不符: 几何平均价格可能并非投资者真正需要对冲的风险敞口。例如，如果投资者需要对冲的是算术平均价格，那么使用几何亚式期权进行对冲可能会产生误差。

价格较低: 由于几何平均值通常小于算术平均值，因此几何亚式期权的价格通常低于算术亚式期权，这意味着对冲相同风险敞口可能需要购买更多的期权合约。

几何亚式期权的应用场景

几何亚式期权在金融市场中有多种应用场景，主要包括：

对冲原材料采购成本: 对于需要定期购买原材料的企业，几何亚式期权可以用于对冲原材料价格波动带来的风险。例如，航空公司可以使用几何亚式期权对冲燃油价格上涨的风险。

结构性产品: 几何亚式期权常常被用于构建结构性产品，例如保本型投资产品。通过将几何亚式期权嵌入到产品中，可以为投资者提供一定的收益保障，同时分享标的资产上涨带来的收益。

外汇风险管理: 跨国公司可以使用几何亚式期权对冲外汇汇率波动带来的风险。例如，出口企业可以使用几何亚式期权对冲美元贬值带来的损失。

指数跟踪: 基金管理人可以使用几何亚式期权对冲跟踪指数的风险。尤其是当指数成分股的权重是根据几何平均价格计算时，使用几何亚式期权进行对冲更为有效。

蒙特卡洛模拟定价几何亚式期权

虽然几何亚式期权存在解析解，但使用蒙特卡洛模拟也是一种常用的定价方法，尤其是在需要验证解析解的正确性或者在更复杂的模型中进行定价时。蒙特卡洛模拟的基本思想是，通过模拟大量的标的资产价格路径，计算出期权的预期收益，然后将其折现到当前时刻。

具体步骤如下：

1. 模拟标的资产价格路径： 根据标的资产价格的随机过程（例如几何布朗运动），模拟大量的价格路径。每条路径代表标的资产价格在不同时间点的变化情况。

2. 计算几何平均价格： 对于每条价格路径，计算在预先设定的时间点上的几何平均价格。

3. 计算期权收益： 根据期权的收益函数（例如 max(A - K, 0) 对于看涨期权），计算每条路径上的期权收益。

4. 计算预期收益： 将所有路径上的期权收益取平均，得到期权的预期收益。

5. 折现： 将预期收益按照无风险利率折现到当前时刻，得到期权的价值。

蒙特卡洛模拟的精度取决于模拟路径的数量。模拟路径越多，结果越准确。为了提高模拟效率，可以使用方差缩减技术，例如控制变量法和重要性抽样法。

相比于解析解，蒙特卡洛模拟的优势在于可以处理更复杂的模型，例如具有时变波动率和跳跃扩散的模型。蒙特卡洛模拟的缺点是计算量大，需要较长的计算时间。

影响几何亚式期权价格的因素

与标准欧式期权类似，几何亚式期权的价格也受多种因素影响，主要包括：

标的资产价格 (S₀): 看涨期权的价格与标的资产价格正相关，看跌期权的价格与标的资产价格负相关。

行权价格 (K): 看涨期权的价格与行权价格负相关，看跌期权的价格与行权价格正相关。

波动率 (σ): 波动率越高，期权的价格越高。这是因为波动率越高，标的资产价格上涨或下跌的可能性越大，期权的潜在收益也越大。

无风险利率 (r): 无风险利率越高，看涨期权的价格越高，看跌期权的价格越低。

到期时间 (T): 到期时间越长，期权的价格越高。这是因为到期时间越长，标的资产价格波动的可能性越大，期权的潜在收益也越大。

抽样频率: 抽样频率越高，期权的价格通常越高。这是因为抽样频率越高，几何平均价格越能反映标的资产价格的真实波动情况。

股息 или 其他收益: 如果標的資產在期權存續期間支付股息或其他收益，看漲期權的價格將會下降，而看跌期權的價格將會上升。 这是因为股息降低了持有标的的成本，从而降低了对看涨期权的需求。

了解这些因素对几何亚式期权价格的影响有助于更好地理解期权定价模型，并进行更有效的风险管理和投资决策。